La sismologie est la source principale d'informations concrètes sur les propriétés et les processus à l'intérieur de la Terre, et plus particulièrement au delà de quelques centaines de kilomètres de profondeur du fait de l'absence d'échantillons. Les modèles sismiques reflètent les variations radiales et latérales de vitesse de propagation des ondes de compression ou de cisaillement. L'interprétation de ces modèles en termes de composition, minéralogie, pression ou température demande de connaître les propriétés élastiques des matériaux présents à ces profondeurs sous hautes pressions et températures.
Rapide introduction à l'élasticité
Les tenseurs des contraintes dans un cristal sont représentés par les matrices suivantes:
Si l'on reste en deca d'une certaine limite , la limite élastique, les déformations subies par un cristal sont réversibles. De plus, pour de faibles déformations, on constate que la quantité de déformation est proportionnelle aux contraintes appliquées. Au niveau microscopique cela implique que le tenseur des déformations d'un cristal peut être reliées au tenseur des contrainte par une loi linéaire (loi de Hook). On définit ainsi un tenseur du deuxième ordre Cijkl où i,j,k et l varient de 1 à 3 tel que
ou encore sijkl où i,j,k et l varient de 1 à 3 tel que
Les Cijkl sont les modules élastiques (souvent appelés constantes élastiques, mais ils ne sont pas constants...) et les sijkl coefficients de déformabilité.
Notation matricielle Les symétries des tenseurs de contrainte et de déformations font qu'on se ramène généralement à une matrice 6x6 (
notation de Voigt):
Cijkl et
sijkldeviennent
Cij et
sij par la transformation des indices suivante:
| Tenseur |
11 |
22 |
33 |
23 |
32 |
13 |
31 |
12 |
21 |
| Matrice |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
Le tenseur des contraintes devient un vecteur {mosimage} tel que
Le tenseur des déformations devient un vecteur. {mosimage} tel que
On a
et
Cij et sijont 36 coefficients indépendants. Des considérations sur le travail et l'énergie permettent de ramener ce nombre à 21 (ces matrices est symétrique). Puis la symétrie du cristal diminue encore le nombre de paramètres indépendants.
| symétrie |
Nombre de composantes indépendantes |
| cubique |
3 |
| hexagonale |
5 |
| tetragonale |
6 |
| trigonale |
6 ou 7 |
| orthorombique |
9 |
| monoclinique |
13 |
| triclinique |
21 |
Propriétés des polycristaux
Pour déduire les propriétés polycristallines du matériau considéré, il faut moyenner les modules élastiques pour déduire les modules d'incompressibilité K et de cisaillement G qui sont directement reliés au vitesse de propagation d'ondes. On utilise différentes hypothèses
- l'hypothèse de Voigt: on suppose la continuité des déformations, c'est à dire que les grains s'emboitent parfaitement mais que des discontinuités de contraintes peuvent apparaître aux interfaces.
- l'hypothèse de Reuss: on suppose la continuité des contraintes, c'est à dire que les contraintes sont uniformes à travers l'aggrégat mais que les grains ne s'emboitent pas parfaitement.
- l'hypothèse de Hill: on utilise une simple moyenne géométrique des quantités calculées dans le cas Reuss et Voigt, KH = (KR+KV)/2 et GH=(GR+GV)/2.
L'expérience montre que les résultats numériques obtenus par l'hypothèse de Hill ne sont généralement pas trop éloignées des valeurs expérimentales. Il existe de nombreuses autres méthodes pour calculer ces quantités qui sont détaillées dans les ouvrages ou publications spécialisées.
L'élasticité d'un cristal cubique est caractérisée par 3 modules indépendants: C11, C12 et C44.
Symétrie hexagonale L'élasticité d'un cristal hexagonal est caractérisée par 5 modules indépendants:
C11,
C12,
C13,
C33 et
C44.
| c2 = (C11+C12) C33 - 2 C132 |
(14) |
L'élasticité d'un cristal trigonal est caractérisée par 6 modules indépendants: C11, C12, C13, C14, C33 et C44.
| c2 = (C11+C12) C33 - 2 C132 |
(18) |
Symétrie tétragonale L'élasticité d'un cristal tétragonal est caractérisée par 6 modules indépendants:
C11,
C12,
C13,
C33,
C44 et
C66.
| c2 = (C11+C12) C33 - 2 C132 |
(22) |
Après, ca devient vraiment compliqué... Mesure expérimentale des constantes élastiques sous pression
- Par onde de choc: l'échantillon est projeté à grande vitesse sur une cible et on analyse en temps réel les déformations;
- Diffusion Brillouin;
- Progation d'ultrasons: on mesure la vitesse de propagation d'ondes ultrasoniques générée par un vibreur. La taille des échantillons nécessaires limite le champ de pressions accessibles à 20 GPa;
Références bibliographiques sur élasticité, cristallographie et pression
Cristallographie:
- J.F. Nye, Physical Properties of Crystals, their representation by tensor and matrices Oxford Science Publications, 1985
Élasticité:
- Z. Hashin and S. Shtrikman, On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity J. Mech. Phys. Solids 10, pp-335-342 (1962)
- L. Peselnick and R. Meister, Variational method of determining effective moduli of polycrystals: (A) Hexagonal Symmetry, (B) Trigonal Symmetry J. Appl. Phys. 36, pp 2879-2884 (1965)
- R. Meister and L. Peselnick, Variational method of determining effective moduli of polycrystals: Tetragonal Symmetry J. Appl. Phys. 37, pp 4121-4125 (1966)
- J.P. Watt and L. Peselnick, Clarification of the Hashin-Shtrikman bounds on the effective elastic moduli of polycrystals with hexagonal, trigonal, and tetragonal symmetries J. Appl. Phys. 51, pp 1525-1531 (1980)
- J.P. Watt Hashin-Shtrikman bounds on the effective elastic moduli of polycrystals with monoclinic symmetry J. Appl. Phys. 51, pp 1520-1525 (1980)
Dépendance en température et pression:
- D.C. Wallace, Thermoelatic Theory of Stressed Crystals and Higher-Order Elastic Constants, Solid State Physics, 25, 1970, pp301-404
